76 / 172 
76
Г Л А В А 4
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ ГИЛЬДЕНА-МЕЩЕРСКОГО
С момента постановки задачи Гильдена-Мещерского до настоящего
времени прошло более ста лет, однако пока имеются строгие решения,
полученные И. В. Мещерским [22] и Б. Е. Гельфгатом [23] лишь для оп-
ределенных законов изменения массы небесных тел, имеющих вид
дробно-рациональных выражений от времени. При отсутствии строгих
решений задачи для других законов изменения массы повышается зна-
чимость частных решений задачи. С другой стороны, частные решения
задачи Гильдена-Мещерского могут играть большую роль в исследовании
иных более сложных задач небесной механики тел переменной массы.
Известны частные решения задачи Гильдена-Мещерского вида
2
C r
,
0
(4.1)
где
r
– радиус-вектор одной материальной точки относительно другой,
2
1
mmG
,
G
– гравитационная постоянная,
tm
1
и
tm
2
– перемен-
ные массы компонент двойной системы,
– безразмерная постоянная,
С – постоянная интеграла площадей. Решения вида (4.1) используются в
ограниченной задаче трех тел переменной массы [111] при отыскании
аналогов интеграла Якоби и исследовании точек либрации. Частные ре-
шения в прямолинейной задаче (С = 0) найдены в работах [67, 73].
Выясним физический смысл постоянной
[52]. Частные решения
(4.1) представляют собой некоторое плоское спиральное движение. Рас-
смотрим сначала математически эквивалентный задаче Гильдена-
Мещерского случай одного неподвижного центра с гравитационным па-
раметром
. Тогда
есть отношение модуля силы ньютоновского при-
тяжения
н
F
, действующей на пассивно гравитирующую материальную
точку (спутник), к “мгновенной” центробежной силе в плоскости дви-
жения в каждый заданный момент времени
2 3
r
F
F
цб
н
,
GM
. (4.2)
Здесь
GM
,
M
– масса неподвижного центра,
– угловая ско-
рость движения спутника. Для задачи Гильдена-Мещерского в поста-
новке относительного движения двух тел с массами
1
m
и
2
m
и гравита-