15 / 172 
15
Решение задачи (1.1) сводится к решению уравнения Бине (1.7), по-
сле чего из формулы (1.8) определится связь угла
и времени t .
Уравнение Бине (1.7) исследовалось в работах Г. Н. Дубошина [1] и
В. В. Степанова [70] в направлении качественного анализа, исходя из
аналитической структуры
)(
t
. В этих работах метод исследования за-
ключался в том, что время исключалось и масса
)(
t
рассматривалась
как функция угла
)(
. Г.Н. Дубошиным [1] показано, что существует
непрерывная, однозначная, всегда положительная функция
)(
пере-
менной
. Проведен [1, 70] качественный анализ траекторий движения в
задаче (1.1) при различных предположениях о характере изменения
)(
t
и высказано предположение [1], что в природе возможны также законы
изменения массы, отличные от законов Мещерского.
Введем преобразование переменных
)( )( )(
v
,
d u d
)(
2
)(
I
C v
,
2
)(
I
C u
,
0 )()(
v u
,
I
, (1.9)
где
I
– открытый ограниченный или неограниченный интервал полярно-
го угла
,
2
I
С
- пространство дважды непрерывно дифференцируемых
функций в I , и приведем уравнение (1.7) к стационарному виду
2
0
0
0
1
2
2
C
b
d
db
d
d
,
0
0
C
, (1.10)
где
0
b
,
0
– вещественные постоянные, а
1
b
может быть как веществен-
ной, так и чисто мнимой постоянной. Здесь и всюду далее
0
0
С
.
Определим все возможные законы изменения массы
)(
, при кото-
рых уравнение (1.7) преобразованием (1.9) приводится к виду (1.10) [71].
Искомые законы являются не только достаточными, но и необходимыми
условиями существования соответствующего преобразования (1.9), ре-
шение дается на основе метода автономизации дифференциальных урав-
нений [72].
В результате, с помощью интеграла площадей (1.8) , можем опреде-
лить все возможные законы изменения массы
)(
t
и, соответственно, все
возможные траектории в задаче Гильдена-Мещерского (1.1) с приводи-
мым к стационарной форме (1.10) уравнением Бине.