13 / 172 
13
Г Л А В А 1
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ И
ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ
ГИЛЬДЕНА-МЕЩЕРСКОГО
1.1. Введение
Одной из наиболее известных в небесной механике тел переменной
массы является задача Гильдена-Мещерского [21, 22]. Она охватывает
ряд конкретных проблем в ньютоновском взаимодействии двух тел пе-
ременной массы и используется для описания эволюции двойных звезд
при вековой потере массы за счет фотонной и корпускулярной активно-
сти. Задача Гильдена-Мещерского служит математической моделью для
описания различных по физическому содержанию случаев движения тел
переменной массы [1, 22, 26, 63].
Уравнение относительного движения в плоскости орбиты имеет вид
3
/ )(
rrt
r
,
dt d
/
)(
, (1.1)
где
) ,(
yx r
– радиус-вектор относительного движения одной матери-
альной точки
относительно другой в плоскости орбиты,
))(
)( (
)(
2
1
tm tmG t
,
G
– гравитационная постоянная,
)(
), (
2
1
tm tm
– массы
тел, некоторые непрерывные функции времени
.| |
,
r r t
Строгое решение задачи Гильдена-Мещерского (1.1) получено
И. В. Мещерским [22] для законов изменения массы
, )
( )(
1
t
t
2/1
)
( )(
t
t
,
2/1
2
)
( )(
t
t
t
, (1.2)
называемых соответственно первым, вторым и объединенным законами
Мещерского, и Б. Е. Гельфгатом [23] для следующих законов изменения
массы
),
( )(
t
t
, )
( )(
2
t
t
, )
)(
( )(
2
2
2 1
1
t
t
t
.0
1 2
2 1
(1.3)
Для законов изменения массы (1.2) решение задачи (1.1) получается
в элементарных функциях (первый закон Мещерского) или в эллиптиче-
ских функциях. В случае изменения массы
)(
t
по формулам (1.3) задача
(1.1) разрешима в замкнутом виде через бесселевы функции [36].