16 / 172 
16
1.2. Автономизация уравнения Бине
Л е м м а 1.1. Для того чтобы уравнение (1.7) преобразованием (1.9)
приводилось к виду (1.10), необходимо и достаточно, чтобы ядро
)(
u
и
множитель
)(
v
преобразования (1.9) удовлетворяли уравнениям
1
4
1
4
3
2
1
2
2
u
u
u
u
u
,
0
2
1
4
b b
(1.11)
0
3
0
vbv v
,
0
1
b
(1.12)
0
2
2
3
2
1
0
0
dv v
b
b v v
,
,0
1
b
I
0
(1.13)
Здесь
)(
v
,
)(
u
и
)(
связаны соотношениями
ud b
u v
2
exp
| )(
1
2/1
(1.14)
0 )(
2
0
v ubv v
(1.15)
2
0
)(
vu
. (1.16)
При этом уравнение (1.7) имеет частные решения
0
)( )(
v
,
2
0 0 0
0
/
Cb
,
0
0
b
(1.17а)
1
)( )(
v
,
0
2
0 1
0
1
/
Cb
,
0
0
b
,
0
1
b
(1.17б)
2
)( )(
v
,
0
0
2
0
2
0
2
2/
C
,
0
0
b
,
0
1
b
. (1.17в)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Применяя преобра-
зование (1.9) к (1.7) получим
2
0
2
2
2
2
2
1
Cvu
vu
v v
d
d
u
u
v
v
u d
d
. (1.18)
Потребуем приведение (1.7) к виду (1.10), тогда сразу из (1.18) сле-
дует (1.15) и (1.16). Приравнивая коэффициенты при
d d
/
в уравнени-
ях (1.18) и (1.10), приходим к линейному уравнению по отношению к
функции
v
vub
u
u
v
2 2
1
1
, (1.19)